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百科 网页新闻贴吧知道网盘图片视频地图文库资讯采购百科百度首页登录注册进入词条全站搜索帮助首页秒懂百科特色百科知识专题加入百科百科团队权威合作下载百科APP个人中心收藏查看我的收藏0有用+10θ播报讨论上传视频希腊字母Theta（大写Θ，小写θ），在希腊语中，是第八个希腊字母。大写的Θ是：粒子物理学中pentaquark用Θ+来表示小写的θ是：数学上常代表平面的角国际音标中的无声齿摩擦音西里尔字母的Ѳ 是从Theta 变来。它还是世界地球日的标志。θ在英语中，属于辅音中的摩擦音一共10个，单词例子如:thank [θæŋk]感谢德拜温度随机数中文名θ外文名Theta大    写Θ数    学平面的角国际音标无声齿摩擦音在英语属于辅音LaTeX表示\theta希腊字母西塔目录1组词2方面应用组词播报编辑θ波 θ节律 θ函数方面应用播报编辑大写小写英文读音国际音标意义Ααalpha/ˈ&ælfə/角度，系数，角加速度Ββbeta/'beitə/磁通系数，角度，系数Γγgamma/'gæmə/电导系数，角度，比热容比Δδdelta/'deltə/变化量，屈光度，一元二次方程中的判别式Εεepsilon/ep'silon/对数之基数，介电常数Ζζzeta/'zi:tə/系数，方位角，阻抗，相对粘度Ηηeta/'i:tə/迟滞系数，效率Θθtheta/'θi:tə/温度，角度Ιι ℩iota/ai'oute/微小，一点Κκkappa/'kæpə/介质常数，绝热指数∧λlambda/'læmdə/波长，体积，导热系数Μμmu/mju:/磁导系数，微，动摩擦系（因）数，流体动力粘度Ννnu/nju:/磁阻系数，流体运动粘度,光子频率Ξξxi/ksi/随机数，（小）区间内的一个未知特定值Οοomicron/oumaik'rən/高阶无穷小函数∏πpi/pai/圆周率，π(n)表示不大于n的质数个数Ρρrho/rou/电阻系数，柱坐标和极坐标中的极径，密度∑σ ςsigma/'sigmə/总和，表面密度，跨导，正应力Ττtau/tau/时间常数，切应力Υυupsilon/ju:p'silən/位移Φφphi/fai/磁通，角，透镜焦度，热流量Χχchi/kai/统计学中有卡方(χ^2)分布Ψψpsi/psai/角速，介质电通量Ωωomega/'oumigə/欧姆，角速度，交流电的电角度新手上路成长任务编辑入门编辑规则本人编辑我有疑问内容质疑在线客服官方贴吧意见反馈投诉建议举报不良信息未通过词条申诉投诉侵权信息封禁查询与解封©2024 Baidu 使用百度前必读 | 百科协议 | 隐私政策 | 百度百科合作平台 | 京ICP证030173号 京公网安备110000020000

梯度下降算法——theta参数更新公式的数学理解 - 知乎

梯度下降算法——theta参数更新公式的数学理解 - 知乎首发于数据挖掘学习之路切换模式写文章登录/注册梯度下降算法——theta参数更新公式的数学理解书浅机器学习 | 数据挖掘 | 动漫（notice：粗体以示向量）一、引出算法在学习 Linear Regression 算法时，经典案例就是房价预测。在通过一系列预处理操作后，得到一个带有特征变量x和可学习参数\theta的假设函数:h_\theta(\textbf{x}) = \theta_0 + \theta_1{x_1} +\theta_2 {x_2} \\一般式：h_\theta(\textbf{x})=\sum_{i=0}^{n}\theta_{i}x_{i}=\boldsymbol{\theta}^{T}·\textbf{x} （n 为特征数） \\下一步要做的就是，构造一个均方损失函数：J(\boldsymbol\theta) = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{m} (h_\theta(\textbf{x}^k) - y^k)^2 （m 为训练集样本数量） \\h_\theta(\textbf{x}^{k}) - y^k 表示第 k 个样本的实际预测值和其真实值的差异，即“训练误差”。所有样本的训练误差之和为损失函数J(\boldsymbol{\theta}) 。 J(\boldsymbol{\theta}) 越小，则说明可学习参数\boldsymbol{\theta}调整的越好，算法泛化能力有可能也越好。 想让损失函数J(\boldsymbol\theta)变小，就只能迭代优化可学习参数\boldsymbol\theta而想要优化参数\boldsymbol\theta，就可以使用梯度下降算法二、梯度下降算法直观理解直观看，假如损失函数的起始位置在上图 “1”的位置。由坐标轴刻度可知，此时的损失函数J(\boldsymbol{\theta})的位置很高，数值很大。需要调整可学习参数\boldsymbol{\theta}以减小在训练集上J(\boldsymbol{\theta})的数值。如图所示，损失函数J(\boldsymbol{\theta})不断的寻找比当前位置更低的地方作为下一步驻留地，最后在位置“2”处停止寻找。此时便得到一个局部最优解\boldsymbol\theta.这使用的就是下面这个更新公式：\theta_i := \theta_i - \alpha \frac{\partial}{\partial \theta_i} J(\boldsymbol{\theta}) \quad--\quad(1) \\其中：(注意区分粗体){\frac{\partial}{\partial \theta_i} J(\boldsymbol{\theta}) = \frac{\partial}{\partial \theta_i} \frac{1}{2}\sum_{k=1}^m(h_\theta(\textbf{x}^k) - y^k)^2} \\=\frac{\partial}{\partial \theta_i} \frac{1}{2}\sum_{k=1}^m(\boldsymbol{\theta}^T·\textbf{x}^k - y^k)^2 \\=\sum_{k=1}^m(\boldsymbol{\theta}^T·\textbf{x}^k - y^k)·x_i \\=\sum_{k=1}^m(h_\theta(\textbf{x}^k) - y^k)·x_i \quad--\quad(2) \\由(1)(2)式得到可学习参数\theta的更新公式：\theta_i := \theta_i + \alpha·\sum_{k=1}^m(y^k - h_\theta(\textbf{x}^k))·x_i^k \\公式意思是：使用第k个样本点的数据，更新\boldsymbol\theta中的第i个\theta_i分量三、疑惑CS229课程截图的直观理解很容易，不很理解的是： 为什么通过 \theta_i := \theta_i + \alpha·\sum_{k=1}^m(y^k - h_\theta(\textbf{x}^k))·x_i^k 调整\boldsymbol\theta，就可以把损失函数J(\boldsymbol\theta)减小? 换言之，以截图为例，为什么这个公式能使损失函数J(\boldsymbol\theta) 步步走到更低点，迭代次数完成后到达一个局部最低点？由此产生两个问题：1、损失函数下降方向是怎么选择的？2、\boldsymbol\theta的更新公式为什么是这个形态？四、证明问题1：损失函数下降方向是怎么选择的？证明：梯度的概念，如下图：（“梯度”是“梯度向量”的简称，“梯度”和“方向导数”是有本质区别和联系的）简言之：梯度是一个向量，其分量是由函数偏导数构成的。梯度方向是一个函数上升最快的方向负梯度方向是一个函数下降最快的方向 ===》由此得：梯度下降算法选择损失函数下降方向时，是选择负梯度方向 问题2：\boldsymbol\theta的更新公式为什么是这个形态？证明：(1)高等数学中有一个知识点: 泰勒公式若函数f(x)在x_0处可导，则在x_0的领域U(x_0)内有：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0)+O(x - x_0) \\也即：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \\(2)同理可得J(\boldsymbol\theta)在 \boldsymbol\theta_0 某领域内的泰勒展开式J(\boldsymbol\theta) = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^{m} (h_\theta(\textbf{x}^k) - y^k)^2 \\J(\boldsymbol\theta) = J(\boldsymbol\theta_0) + J'(\boldsymbol\theta_0)(\boldsymbol\theta - \boldsymbol\theta_0) \\(3)获取负梯度方向\boldsymbol\theta是向量，各个分量需要依次更新。现使用第k个样本点的数据更新第i个分量\theta_iJ(\boldsymbol{\theta}) - J(\boldsymbol{\theta_{0}}) =\frac{\partial}{\partial \theta_i} \frac{1}{2}\sum_{k=1}^m(\boldsymbol{\theta_0}^T·\textbf{x}^k - y^k)^2·(\boldsymbol\theta - \boldsymbol\theta_0) \\ \color{red}{=\sum_{k=1}^m(\boldsymbol{\theta_0}^T·\textbf{x}^k - y^k)·x_i^k}·(\boldsymbol\theta - \boldsymbol\theta_0) \\其中红色部分就是梯度（一元函数的导数可以看作梯度），将这部分拿出来取反，即负梯度方向(3)参数更新公式：以f(x)为例：f(x) = f(x_0) + f'(x_0)(x - x_0) \\f(x)在x_0处沿着负梯度方向下降，则只需要更新自变量x即可。x = x_0 + (-f'(x_0)·\alpha),（\alpha为学习率） \\同理可得：<1>现有负梯度方向：\color{red}{-\frac{\partial}{\partial\theta_i}{J'(\boldsymbol\theta)} = -\sum_{k=1}^m(\boldsymbol{\theta}^T·\textbf{x}^k - y^k)·x_i^k} \\<2>J(\boldsymbol\theta)的泰勒展开式J(\boldsymbol\theta) = J(\boldsymbol\theta_0) + J'(\boldsymbol\theta_0)(\boldsymbol\theta - \boldsymbol\theta_0) \\<3>推导得出\boldsymbol\theta的更新公式\theta_i := \theta_i + (-\alpha·\sum_{k=1}^m(\boldsymbol{\theta}^T·\textbf{x}^k - y^k)·x_i^k) \\\theta_i := \theta_i + \alpha·\sum_{k=1}^m(y^k - \boldsymbol{\theta}^T·\textbf{x}^k)·x_i^k \\\theta_i := \theta_i + \alpha·\sum_{k=1}^m(y^k - h_\theta(\textbf{x}^k))·x_i^k \\\theta_i\quad(i=0,1,··n) 全部更新完后， \boldsymbol\theta 整体就更新完毕了 ===》以上便是\boldsymbol\theta的更新公式形态的由来 --水平有限，如有错误，还望指正发布于 2021-07-27 08:33梯度下降线性回归机器学习​赞同 3​​3 条评论​分享​喜欢​收藏​申请转载​文章被以下专栏收录数据挖掘学习之路DM学

THETA中文(简体)翻译：剑桥词典

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theta 在英语-中文（简体）词典中的翻译

thetanoun [ C or U ]

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/ˈθiː.tə/ us

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/ˈθeɪ.t̬ə/ (symbol Θ, θ)

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the eighth letter of the Greek alphabet

（希腊语字母表的第8个字母）

(theta在剑桥英语-中文（简体）词典的翻译 © Cambridge University Press)

theta的例句

theta

The type representations each select the corresponding component from theta.

来自 Cambridge English Corpus

The for mal features involved in allowing null arguments are agreement features for subjects and theta-features for objects.

来自 Cambridge English Corpus

The interplay between theta and alpha oscillations in the human electroencephalogram reflects the transfer of information between memory systems.

来自 Cambridge English Corpus

In addition, coherence across both short- and long-distance derivations for the theta band did not show any relation with age at placement.

来自 Cambridge English Corpus

A bicycle obtained from graph (iii) is a theta graph.

来自 Cambridge English Corpus

His main research interests include sleep, the anatomy and physiology of the brainstem, and subcortical systems controlling the theta rhythm of the hippocampus.

来自 Cambridge English Corpus

These findings suggest that enhanced theta rhythmicity occurs in tight functional thalamocortical loops and is a major element in all three diseases investigated.

来自 Cambridge English Corpus

For example, hippocampal theta oscillation does not co-occur with either sleep spindles or delta waves.

来自 Cambridge English Corpus

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the number of years that someone lives or can expect to live in reasonably good health

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为什么XRD的横坐标是2θ？ - 知乎

为什么XRD的横坐标是2θ？ - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答​切换模式登录/注册实验检测化学实验为什么XRD的横坐标是2θ？关注者5被浏览82,896关注问题​写回答​邀请回答​好问题​添加评论​分享​2 个回答默认排序果冻豆人​浙江大学 材料学博士​ 关注首先，当然有习惯性的用法(约定俗成，大家用惯了)。再者，2theta是衍射角，即入射X射线与衍射线的夹角; theta是衍射半角，是入射X射线与符合衍射条件的晶面的夹角。前者衍射角，是一个在仪器测试中比较实用的一个量(易获取)，搞实验测试喜欢用。后者衍射半角，是布拉格方程中直接用到的物理量，搞理论计算喜欢用。没办法，搞计算的总得结合实验数据，又得留点自己的面子，所以就用2theta折中。大概就是这样吧。发布于 2019-02-02 12:07​赞同 12​​1 条评论​分享​收藏​喜欢收起​看起来很凶​ 关注因为样品转一度散射转两度？发布于 2019-01-30 17:57​赞同​​添加评论​分享​收藏​喜欢收起​​

如何在算法中简单理解大O，大Ω，大Θ符号？ - 知乎

如何在算法中简单理解大O，大Ω，大Θ符号？ - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答​切换模式登录/注册算法数学算法设计数学符号计算机算法设计如何在算法中简单理解大O，大Ω，大Θ符号？如题。显示全部 ​关注者6被浏览13,842关注问题​写回答​邀请回答​好问题 1​1 条评论​分享​2 个回答默认排序知乎用户​​卡耐基梅隆大学 计算数据科学硕士以下内容来自于脑海回忆，如果错了勿怪，请大家及时纠正我:...（果然弄反了一丢丢。。）大 \Theta 就是同数量级的复杂度。比如大家都是两次方的函数, 6x^2+3x+8 = \Theta(x^2) ,看最高次项. 或者另有一种理解是（来自<算法导论>) \lim_{n\to\infty}\frac{6n^2+3n+8}{n^2} = 6 是常数. 则说明他们互相为 \Theta 关系.大 \Omega 就是大于等于的数量级复杂度。比如 f(x) = x^2+2x+7 , g(x)=2x+8 , 那么我们就说 f(x)是\Omega(g(x)) , 即 g(x) 是 f(x) 的一个lower bound. 或者另一种理解是, \lim_{n\to\infty}\frac{n^2+2n+7}{2n+8} = +\infty, 则说明 2x+8 是 x^2+2x+7 的下界.大 O 就是小于等于的数量级复杂度。比如 f(x) = x+1 , g(x) = e^x , 那么我们就说 f(x)是O(g(x)) , 即 g(x) 是 f(x) 的一个upper bound. 或者另一种理解是, \lim_{n\to\infty}\frac{n+2}{e^n}=0 ，则说明 e^x 是 x+2 的一个上界编辑于 2020-08-18 16:54​赞同 35​​2 条评论​分享​收藏​喜欢收起​知乎用户XYH6wj​ 关注仅谈大O。O代表order，表示忽略次要项。因此系数这些可以约掉。编辑于 2023-06-03 19:12​赞同 1​​1 条评论​分享​收藏​喜欢收起​​写回答1 个回答被折叠（为什

delta，gamma，theta，Vega，rho，分别是什么意思，以及怎么算出来的，求实际例子? - 知乎

delta，gamma，theta，Vega，rho，分别是什么意思，以及怎么算出来的，求实际例子? - 知乎首页知乎知学堂发现等你来答​切换模式登录/注册股票期权期权delta，gamma，theta，Vega，rho，分别是什么意思，以及怎么算出来的，求实际例子?能告诉我大概什么意思以及大概怎么算出来就行，求实例显示全部 ​关注者3被浏览1,779关注问题​写回答​邀请回答​好问题​添加评论​分享​2 个回答默认排序期货人-场外期权​期货从业人员资格证持证人​ 关注比如比特币现货价格上涨1%，期权上涨10%，那么期权的杠杆就是10倍。那么通过Delta，我们可以计算期权的杠杆倍数。假设目前比特币现货价格是3000元，有一份1个月后到期行权价为3200的认购期权，现在的价格是100元，Delta为0.33。如果现货价格上涨1%，也就是30元，期权价格就会上涨30*Delta，等于9.9元。从涨幅来看，期权合约上涨了9.9%。因此，期权合约的杠杆大概是10倍。判断实值虚值。期权在到期日近似的实值概率，这一点对交易者来说非常重要。比如一张认购合约的Delta为0.2，即代表在当下时点，其在到期日的实值概率为20%。这一点对于判断期权合约在到期日的实值、虚值程度来说，是个简便可行的办法。要点：Call的Delta为正值，取值在0~1之间；Put的Delta为负值，取值在-1~0之间；平值期权的Delta为0.5，实值程度越高的期权，Delta绝对值越接近1，虚值程度越高的期权，Delta绝对值越接近0；正Delta头寸，意味着期权价格与标的资产价格正向变动；负Delta头寸意味着期权价格与标的资产价格反向变动，因此Delta代表了期权的方向性风险。Gamma代表Delta对于标的资产价格的变动率，也就是说，标的资产价格每变动一个单位，Delta值产生的变化，就是Gamma。Gamma实际上衡量Delta值对于标的资产价格变动的敏感程度。用数学语言来说，Gamma就是Delta随标的资产价格变化而变化的幅度。即，当比特币现货价格变化0.1元时，Delta变化0.1*Gamma。假设一个Call的价格为10美金，Delta为0.3，Gamma为0.2，当标的资产价格上涨1美元时，在其他条件不变的情况下，这个Call的Delta将变为0.5。在实际交易中，Gamma还有另外一层含义。我们知道，对冲组合由Delta份BTC空头和1份期权多头组成。Delta会随着比特币现货价格变化而变化。当现货价格发生变化时，为了保证对冲的效果，需要调整现货的头寸Delta。当现货价格变化0.1元时，现货的头寸Delta也会相应的变化0.1*Gamma。因此，Gamma表示的是对冲风险的难度。Gamma与标的价格的变动关系Gamma是衡量对冲风险的。对冲风险越大，Gamma也越大。那么期权在什么时候对冲风险最高呢？足球比赛中，比赛胶着的时候，结果的不确定性最大；同样当标的价格接近行权价时，期权是否会被行权的不确定性最大，此时的对冲风险也最高，Gamma达到最大值。而当标的价格接近于0时，认购期权近似于一张废纸，并不需要进行对冲，对冲风险很低，Gamma接近于零。当标的价格接近于正无穷时，标的价格每变化1元，期权价格也会变化1元，因此1份现货可以很好地对冲1份期权，对冲风险也是很低的，Gamma也接近于零。因此，Gamma随标的价格呈现一个先上升后下降的过程，并在标的价格接近行权价时达到峰值。Gamma与到期时间的变动关系我们再次从球赛的角度理解：若某队在比赛刚开始时进了1球，由于剩余时间较长，落后队依旧有机会反败为胜，故而此时1球对于结果的影响不大，此时Gamma较低。但随着比赛进行到中盘，1个进球对于比赛结果的重要性就开始凸显，此时Gamma升高。随着比赛进入最后时刻，若某队领先或落后，1个进球可能无法逆转比赛结果，此时Gamma回落。但如果两队比分持平，此时1个进球对于比赛的结果是具有决定性的，平值Gamma会继续升高。要点：Call、Put的Gamma值都为正值，因此，当拥有期权多头头寸，即买入期权时，无论买入Call或Put，你都拥有+Gamma头寸；卖出Call或Put时，都拥有 — Gamma头寸，这一点跟Delta不同；随着时间流逝，实值和虚值期权的Gamma值会减小，平值期权的Gamma值会增大，尤其是平值期权临近到期日时，Gamma值会急剧增大；Gamma实际上通过影响Delta从而影响期权价格，代表了期权价格的变化速度，或曰量级风险。Theta代表时间流逝对期权价格产生的变化，也即每减少一天，期权价格的变化值就是Theta。假设一个Call或Put的Theta值为0.6，则表明在其他条件不变的情况下，这个期权合约每天的价值减少0.6美元。Theta衡量的是期权时间价值的损耗。对于大多数期权而言，随着距到期日的临近，期权的时间价值也会不断损耗。因此，大多数期权的Theta是小于零的。正因为期权的Gamma和Theta大部分情况是相反的，所以我们可以把Theta和Gamma理解成总是一对死对头，你要往左我偏要往右，永远拧着来。然而Theta也有可能大于0，这种例外会出现在深度虚值的认沽期权身上。发布于 2023-07-28 09:05​赞同 3​​添加评论​分享​收藏​喜欢收起​哎哟不错​fin.math.cs​ 关注根据期权定价公式求偏导计算的，可以理解成偏导数发布于 2023-07-27 22:28​赞同​​添加评论​分享​收藏​喜欢收起​​

theta是什么意思_theta的翻译_音标_读音_用法_例句_爱词霸在线词典

a是什么意思_theta的翻译_音标_读音_用法_例句_爱词霸在线词典首页翻译背单词写作校对词霸下载用户反馈专栏平台登录theta是什么意思_theta用英语怎么说_theta的翻译_theta翻译成_theta的中文意思_theta怎么读,theta的读音,theta的用法,theta的例句翻译人工翻译试试人工翻译翻译全文theta英 [ˈθi:tə]美 [ˈθetə, ˈθi-]释义n.希腊字母的第八字点击 人工翻译，了解更多 人工释义实用场景例句全部Recommend we adjust re - entry point to Omicron J - Vector Theta.建议我们调整进入奥米克戎区矢量J太塔区的再入点.互联网Invid deploying at Q Vector Theta.Invid在矢量Q太塔区展开.互联网Describes how to find the theta value in CPFSK complete source code, has been tested.介绍了如何找到论旨价值CPFSK完整的源代码, 已经过测试.互联网There are four types of breathing patterns going from high frequency, alpha, beta, theta, and delta.呼吸的模式可以根据呼吸频率而分为阿尔法, 贝塔, 森塔, 和带尔塔.互联网收起实用场景例句英英释义Noun1. the 8th letter of the Greek alphabet收起英英释义释义实用场景例句英

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球坐标系 - 知乎首发于小时百科切换模式写文章登录/注册球坐标系小时百科小时百科 http://wuli.wiki（建议阅读最新版本） 预备知识　位矢 球坐标 　　 三维直角坐标系中的一点 P 的位置可以用 (r,\theta ,\phi ) 这 3 个有序实数来表示，称为该点的球坐标（图 1 ）．其中 r 表示该点到原点的距离 （r \geqslant 0）， 即位矢的模长； \theta 表示该点的位矢与 z 轴的夹角 （\theta \in [0,\pi]）， 即极角； \phi 表示该点的位矢在 x - y 平面上的投影与 x 轴的夹角 （\phi \in [0,2\pi]\text{或}[- \pi,\pi]）， 即方位角．注意有些教材中用 \theta 表示方位角， \phi 表示极角，或者将 \phi 记为 \varphi， r 记为 \rho 等，需要通过上下文判断每个坐标符号的具体含义． 图 1：球坐标系 球坐标系中的单位矢量 　　 三个球坐标分别有对应的单位矢量 \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} （如图）．定义它们的方向分别指向对应坐标增加的方向，例如 r 增加时，点 P(r,\theta ,\phi ) 就向 \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} 的方向移动．三个单位矢量两两垂直，形成一组正交归一基底，任意三维矢量都可以表示成它们的线性组合．即 \begin{align}&\boldsymbol{\mathbf{v}} = ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} )\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} )\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + ( \boldsymbol{\mathbf{v}} \boldsymbol\cdot \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} )\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} = v_r \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} + v_\theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} + v_\phi \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}}&(1)\\\end{align} 与直角坐标系不同的是，按照定义，球坐标的三个单位矢量是关于 \theta 和 \phi 的函数．即 \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} (\theta ,\phi )， \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} (\theta ,\phi )， \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} (\phi )． 例如 P 的球坐标为 (1, \pi/2, 0)， 直角坐标为 (1, 0, 0) 时， \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}}， \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} = - \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}， \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}}． 但是球坐标为 (1, \pi/2, \pi/2)， 直角坐标为 (0, 1, 0) 时， \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}}， \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} = - \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}， \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} = - \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}}． 一般地，对于球坐标为 (r, \theta , \phi ) 的点 \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} 与 \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}} 的关系见球坐标与直角坐标的转换．另外注意改变 r 时 \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} , \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} 都保持不变，且 \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} (\phi ) 仅由坐标 \phi 决定． 　　 三个坐标按照 (r, \theta , \phi ) 排序，是为了使对应的单位矢量满足 \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{\theta}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}} （类比直角坐标系的三个单位矢量必须满足 \hat{\boldsymbol{\mathbf{x}}} \boldsymbol\times \hat{\boldsymbol{\mathbf{y}}} = \hat{\boldsymbol{\mathbf{z}}}， 见矢量的叉乘）． 这也是所有正交曲线坐标系的要求． 球坐标系中矢量的两种表示方法 　　 球坐标系中，矢量可以用球坐标 (r, \theta, \phi) 表示，即矢量以原点为起点，以终点的球坐标表示该矢量． 　　 更常见的方法，是将矢量投影到 3 个单位矢量上（ 当然，要说明是关于哪个点的单位矢量）， 用单位矢量的线性组合来表示．在矢量分析中，这种方法常用于表示矢量场． 　　 例如任意一点 P(r, \theta, \phi) 的位矢都可以表示为 r\, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}}． 又如原点处电荷 q 产生的电场为 \boldsymbol{\mathbf{E}} = k q \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{r}}} /r^2． 又如一个绕 z 轴逆时针旋转（ 角速度 \omega） 的圆柱，在 P 点的线速度为 \begin{align}&\boldsymbol{\mathbf{v}} = \omega r\sin \theta \, \hat{\boldsymbol{\mathbf{\phi}}}&(2)\\\end{align} 两方向的夹角 预备知识　内积 　　 若已知球坐标系中两个方向分别为 (1, \theta_1, \phi_1) 和 (1, \theta_2, \phi_2) 如何求它们之间的夹角 \alpha 呢？ 我们可以先计算两个单位矢量的直角坐标， 然后对它们进行内积即可得到两矢量夹角的余弦值． 由， 两矢量的直角坐标分别为 \begin{align}&(\sin\theta_1\cos\phi_1, \sin\theta_1\sin\phi_1, \cos\theta_1) \qquad (\sin\theta_2\cos\phi_2, \sin\theta_2\sin\phi_2, \cos\theta_2)&(3)\\\end{align} 利用三角恒等式， 得 \begin{equation} \begin{aligned} \cos\alpha &= \sin\theta_1\cos\phi_1\sin\theta_2\cos\phi_2 + \sin\theta_1\sin\phi_1 \sin\theta_2\sin\phi_2 + \cos\theta_1 \cos\theta_2\\ &= \sin\theta_1\sin\theta_2(\cos\phi_1 \cos\phi_2 + \sin\phi_1\sin\phi_2) + \cos\theta_1 \cos\theta_2\\ &= \sin\theta_1\sin\theta_2 \cos\left(\phi_2-\phi_1\right) + \cos\theta_1 \cos\theta_2\\ \end{aligned} \end{equation} 编辑于 2021-05-29 16:32高等数学物理学​赞同 113​​14 条评论​分享​喜欢​收藏​申请转载​文章被以下专栏收录小时百科自学大学物理，数学

Θ函数_百度百科

百度百科 网页新闻贴吧知道网盘图片视频地图文库资讯采购百科百度首页登录注册进入词条全站搜索帮助首页秒懂百科特色百科知识专题加入百科百科团队权威合作下载百科APP个人中心收藏查看我的收藏0有用+10Θ函数播报讨论上传视频数学领域术语本词条由“科普中国”科学百科词条编写与应用工作项目 审核 。数学中，Θ函数是一种多复变特殊函数。其应用包括阿贝尔簇与模空间、二次形式、孤立子理论；其格拉斯曼代数推广亦出现于量子场论，尤其于超弦与D-膜理论。Θ函数最常见于椭圆函数理论。相对于其“z” 变量，Θ函数是拟周期函数（quasiperiodic function），具有“拟周期性”。在一般下降理论（descent theory）中，此来自线丛条件。 [1]中文名Θ函数分    类模形式、黎曼曲面应    用椭圆函数领    域数理科学目录1雅可比Θ函数2辅助函数3雅可比恒等式4以nome q表示Θ函数5乘积表示式6积分表示式7与黎曼ζ函数的关系8与维尔斯特拉斯椭圆函数之关系9与模形式之关系10解热方程11与海森堡群之关系12推广雅可比Θ函数播报编辑雅可比Θ函数取二变量 与 ，其中 为任何复数，而 为上半复平面上一点；此函数之定义为： 若固定 ，则此成为一周期为1的单变量 整函数的傅里叶级数： 在以 位移时，此函数符合： 其中a与b为整数。 [2]辅助函数播报编辑可定义辅助函数： 其中符号依黎曼与芒福德之习惯；雅可比的原文用变量 替换了 ，而称本条目中的Θ为 为 为 为 。若设 ，则我们可从以上获得四支单以 ，为变量之函数，其中 ,取值于上半复平面。此等函数人称“Θ‘常量’”（theta constant）；我们可以用Θ函数定义一系列模形式，或参数化某些曲线。由“雅可比 恒等式”可得：是为四次费马曲线。 [3]雅可比恒等式播报编辑雅可比恒等式描述模群在Θ函数之作用；模群之生成元为T: τ ↦ τ+1与S: τ ↦ -1/τ。我们已有 T 作用之式。设：则以nome q表示Θ函数播报编辑我们可用变量 与 ，代替 与 ，来表示ϑ。设 而 。则ϑ可表示为： 而辅助Θ函数可表示为：此表示式不需要指数函数，所以适用于指数函数无每一处定义域，如p进数域。 [4]乘积表示式播报编辑雅可比三重积恒等式（Jacobi's triple product identity）中指出：若有复数 与 ，其中 而 ，则此式可以用基本方法证明，如戈弗雷·哈罗德·哈代和爱德华·梅特兰·赖特共同编著的《数论导引》。若用nome变量与表示，则有：由此得到Θ函数的积公式：三重积等式左边可以扩展成：即：这个式子在z取实值时尤为重要。 各辅助Θ函数亦有类似之积公式：积分表示式播报编辑雅可比Θ函数可用积分表示，如下：与黎曼ζ函数的关系播报编辑黎曼尝用关系式以证黎曼ζ函数之函数方程。他写下等式：而此积分于替换 下不变。z非零时之积分，在赫尔维茨ζ函数一文有描述。与维尔斯特拉斯椭圆函数之关系播报编辑雅可比用Θ函数来构造椭圆函数，并使其有易于计算之形式。他表示他的椭圆函数成两枚上述Θ函数之商。魏尔施特拉斯椭圆函数亦可由雅可比Θ构造：其中二次微分相对于z，而常数c使的罗朗级数（于 z = 0）常项为零。与模形式之关系播报编辑设η为戴德金η函数。则解热方程播报编辑雅可比Θ函数为一维热方程、于时间为零时符合周期边界条件之唯一解。 设z = x取实值，τ = it而t取正值。则有此解此下方程：于t = 0时，Θ函数成为“狄拉克梳状函数”（Dirac comb）其中δ为狄拉克δ函数，故可知此解是唯一的。 因此，一般解可得自t = 0时的（周期）边界条件与Θ函数的卷积。 [5]与海森堡群之关系播报编辑雅可比Θ函在海森堡群之一离散子群作用下不变。见海森堡群之Θ表示一文。推广播报编辑若F为一n元二次型，则有一关连的Θ函数其中为整数格。此Θ函数是模群（或某适当子群）上的权n/2 模形式。在其富理埃级数中，称为此模形式之“表示数”（representation numbers）。新手上路成长任务编辑入门编辑规则本人编辑我有疑问内容质疑在线客服官方贴吧意见反馈投诉建议举报不良信息未通过词条申诉投诉侵权信息封禁查询与解封©2024 Baidu 使用百度前必读 | 百科协议 | 隐私政策 | 百度百科合作平台 | 京ICP证030173号 京公网安备110000020000

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